Le théorème de l’électeur médian, l’art majeur et l’art mineur

Mathématiques et chansons 12

On s’intéresse aujourd’hui à la vaste théorie du choix social, à la croisée des mathématiques, des sciences politiques et de l’économie. À grand trait, il s’agit de voir comment faire émerger un choix collectif à partir de préférences individuelles, ce qui est plus difficile qu’il n’y parait. Par exemple, il semble évident que si une option A est préférée à B, et que B est préférée à C, alors A est préférée à C. C’est ce qu’on appelle la transitivité des préférences. Même si cette propriété est vraie pour chaque individu, il se peut que collectivement, des systèmes électoraux entrainent des cycles absurdes : A préféré à B, B préféré à C, C préféré à A, ce qui fait qu’aucune option ne semble émerger collectivement. Je vous épargne les détails, il s’agit du paradoxe de Condorcet, découvert par ce dernier à la fin du XVIIIe siècle, voir ici.

En fait, des décennies de recherche ont montré que toute tentative d’éradiquer le paradoxe de Condorcet par un système électorale astucieux le fait ressurgir sous une autre forme. C’est le théorème d’impossibilité de Kenneth Arrow, montré en 1951, qui affirme qu’il n’existe aucun système électoral sans défaut. Arrow a établi une liste de propriétés désirables d’un système électoral, et a montré qu’aucun d’entre eux ne les satisfait tous, voir ici.

le théorème de Arrow est une limitation fondamentale aux processus de décision collective, mais sous certaines hypothèses restrictives, il s’évanouit. Par exemple, si on suppose que les agents ainsi que les options qui leur sont proposées sont sur un axe, et que chaque agent va ordonner ses choix de l’option la plus proche à la plus lointaine, tout d’un coup se mettent à exister des procédures de vote un peu plus satisfaisantes logiquement. Cette hypothèse très simplificatrice n’est pas si irréaliste : en politique par exemple, en simplifiant à l’extrême, les candidats et les électeurs ont tendance à se placer sur un axe de la gauche vers la droite, et chaque électeur va voter pour le candidat qu’il estime le plus proche de ses options. Voir la page wikipedia du Median voter theorem.

Je vous livre maintenant une opinion personnelle, que je n’ai jamais lue nulle part : ce théorème explique la robustesse de l’axe gauche-droite en politique. Cet axe est à bien des égards une absurdité politique, et sa persistance durant des décennies ou même des siècles s’explique avant tout par les simplifications qu’il permet dans les processus de décisions collectives. Il se pourrait que tout sujet soumis à débats et décisions collectives répétitives finisse par se structurer sur un axe a priori arbitraire.

Par exemple, si on parle de chanson pendant quelques années, on finit par se poser une question absurde : c’est un art mineur ou un art majeur ?

Art mineur de Claude Nougaro.

Voir les séries consacrées à la question de la chanson art majeur ou mineur, ici.

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5 commentaires sur “Le théorème de l’électeur médian, l’art majeur et l’art mineur

  1. Le théorème d’Arrow concerne les systèmes de vote par classement – il n’interdit donc pas l’existence d’autres systèmes de vote satisfaisants. Par exemple, il existe des systèmes de vote par valeurs (i.e. en notant chaque candidat) qui satisfont les propriétés désirables d’Arrow. Et qui sont donc un peu plus sérieux que, au hasard, le scrutin uninominal à deux tours (dont aucun tournoi sportif, fût-ce de pétanque départemental, ne voudrait).

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  2. Merci pour ces précisions. J’observe que « noter » des candidats pose problème en soi, plus de problème que dire si on préfère A ou B en tout cas. J’observe aussi que l’idée « d’axe » de type gauche-droite dont je parle ensuite revient à admettre l’existence d’une sorte de système de notation consensuel (dans le sens que tout le monde est d’accord sur la manière de noter).

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  3. Avec plaisir ! Mais en quoi noter les candidats poserait-il problème ? C’est au contraire une façon simple d’obtenir un vote beaucoup plus lisible : dans un vote par classement, si les électeurs préfèrent A à B, est-ce parce qu’ils adorent A, parce qu’ils détestent B, ou parce qu’ils trouvent A juste un peu moins affligeant que B ? Informations qui seraient disponibles dans un vote par valeurs, selon les notes respectives de A et B… Bref, le vote par valeurs contient beaucoup plus d’informations et relaie beaucoup mieux la voix des électeurs que le vote par classement, ce qui est quand même crucial dans une démocratie, et ça éviterait de faire gloser des armées de chroniqueurs sur des résultats (dans le système actuel) par nature indéchiffrables.

    Désolé pour le pavé, mais c’est un sujet qui me tient particulièrement à cœur 🙂

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  4. Beaucoup de gens aurait du mal à « noter » dans candidats ou des options. Ou même à les classer d’ailleurs. Mais l’avantage du classement, c’est que tout électeur doit savoir s’il préfère A à B disons. Sinon, il n’est pas électeur, il doit s’abstenir ou voter blanc. Et il y a des situations ou de toute manière il faut choisir (je ne parle pas d’élections, mais de situation de la vie courante). Donc demander de classer des options deux à deux est un minimum. Plein de gens peuvent avoir des opinions très arrêtés tout en refusant de noter … Voilà pourquoi noter pose problème selon moi. Mais je suis d’accord pour dire que ça résout d’autres problèmes.

    NB : mon mode de scrutin préféré est le vote par approbation. Facile à comprendre et à dépouiller, et dénué de beaucoup d’effets pervers des scrutins habituels.

    Le jardin (je ne sais pas pourquoi, wordpress a basculé mes réponses en mode anonyme …)

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  5. Pas tout à fait d’accord, mais on rentre dans des considérations philosophiques : contrairement à la vie courante où faire un choix peut être vital, le processus électoral devrait avant tout assurer la bonne expression de la volonté du peuple. Dire aux électeurs « on s’en fiche que vous n’aimiez aucun des deux candidats (ou que vous adoriez les deux), vous devez apporter votre soutien plein et entier à l’un des deux et puis c’est tout » me semble être le contraire de cet idéal. J’ajoute que l’abstention et le vote blanc sont des expressions électorales à part entière, avec leurs significations et leurs conséquences.

    Le vote par approbation est d’ailleurs un vote par valeurs, binaire en l’occurrence – augmenter le nombre de notes pourrait effectivement perdre des gens (drame de la démocratie qui fait le pari de l’intelligence des individus en les qualifiant de citoyens et qui se heurte à la dure réalité), mais une échelle de 4 ou 5 notes pour chaque candidat, de « très satisfaisant » à « à rejeter », pourrait être tentée…

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