Groupe d’automorphismes des chansons

Mathématiques et chansons 25

Il y a 100 ans jour pour jour naissait Georges Brassens. On va apprendre aujourd’hui pourquoi certaines de ses chansons sont plus difficiles à mémoriser que d’autres grâce à une belle notion issue de l’algèbre : le groupe des automorphismes d’une structure. Je n’en donnerai pas la définition générale et me limiterai à sa définition en chanson : l’ensemble de toutes les permutations des mots d’une chanson qui redonnent une chanson à peu près équivalente dans sa signification, son phrasé, etc.

Un bon exemple est Bécassine de Georges Brassens.

Je suis obligé de donner l’intégralité des paroles, ou presque :

1
Un champ de blé prenait racine
Sous la coiffe de Bécassine
Ceux qui cherchaient la toison d’or
Ailleurs avaient bigrement tort

Tous les seigneurs du voisinage
Les gros bonnets, grands personnages
Rêvaient de joindre à leur blason
Une boucle de sa toison

Un champ de blé prenait racine
Sous la coiffe de Bécassine

C’est une espèce de robin
N’ayant pas l’ombre d’un lopin
Qu’elle laissa pendre, vainqueur
Au bout de ses accroche-cœurs

C’est une sorte de manant
Un amoureux du tout-venant
Qui pourra chanter la chanson
Des blés d’or en toute saison

Et jusqu’à l’heure du trépas
Si le diable s’en mêle pas

              2

Au fond des yeux de Bécassine
Deux pervenches prenaient racine
Si belles que Sémiramis
Ne s’en est jamais bien remise

Et les grands noms à majuscules
Les Cupidons à particules
Auraient cédé tous leurs acquêts
En échange de ce bouquet

Au fond des yeux de Bécassine
Deux pervenches prenaient racine

C’est une espèce de gredin
N’ayant pas l’ombre d’un jardin
Un soupirant de rien du tout
Qui lui fit faire les yeux doux

C’est une sorte de manant
Un amoureux du tout-venant
Qui pourra chanter la chanson
Des fleurs bleues en toute saison
Et jusqu’à l’heure du trépas
Si le diable s’en mêle pas

                3

À sa bouche, deux belles guignes
Deux cerises tout à fait dignes
Tout à fait dignes du panier
De madame de Sévigné

Les hobereaux, les gentillâtres
Tombés tous fous d’elle, idolâtres
Auraient bien mis leur bourse à plat
Pour s’offrir ces deux guignes-là
Tout à fait dignes du panier
De madame de Sévigné

C’est une espèce d’étranger
N’ayant pas l’ombre d’un verger
Qui fit s’ouvrir, qui étrenna
Ses joli’s lèvres incarnat

C’est une sorte de manant
Un amoureux du tout-venant
Qui pourra chanter la chanson
Du temps des cerises en toute saison
Et jusqu’à l’heure du trépas
Si le diable s’en mêle pas

La chanson est construite sur trois parties du corps de la belle Bécassine : les cheveux, les yeux, puis la bouche. Je pense qu’il faut garder cet ordre, pas question de permuter les couplets. Mais pourquoi les « seigneurs du voisinage » sont-ils rangés avec les cheveux, les « cupidons à particule » avec les yeux et les « hobereaux gentillâtres » avec la bouche ? Et pourquoi « l’étranger », « le gredin » et le « robin » sont ici plutôt que là ? Tout ceci peut se permuter sans changer fondamentalement la chanson. Par exemple, si on permute :

Et les grands noms à majuscules
Les Cupidons à particules

et :

Les hobereaux, les gentillâtres
Tombés tous fous d’elle, idolâtres

on obtient une chanson tout à fait valable. Il y a 3! = 6 manières d’ordonner trois éléments, et comme deux ensembles de trois se peuvent permuter indépendamment, je déduis que le groupe d’automorphismes de Bécassine est le produit direct de deux copies du groupe symétrique à trois éléments, bref qu’il y a 3! x 3! = 6 x 6 = 36 chansons équivalentes à Bécassine !

Si ces explications vous paraissent obscures, retenez simplement qu’il y de nombreuses manières de permuter les paroles sans trop abîmer la chanson. Je donne un autre exemple : L’orage.

Cette fois, c’est plutôt le contraire. Chaque morceau de couplet est exactement à sa place, car la chanson suit un plan narratif et chronologique. Il n’y a donc pas d’automorphismes, ou plutôt un seul : l’automorphisme qu’on appelle trivial, qui consiste à ne rien changer et à tout laisser à sa place.

J’ai pensé à cette notion en remarquant que les paroles de L’orage se mémorisent bien plus facilement que celles de Bécassine. L’orage est comme un fil qui se déroule de lui-même, tandis que Bécassine est un vrai piège à cause de ses multiples automorphismes. J’en viens au théorème d’automorphismes des chansons.

Théorème de l’automorphisme de chanson : la difficulté de mémoriser une chanson augmente avec la taille de son groupe d’automorphismes.

Illustration. Brassens lui-même se plante légèrement dans les paroles de Bécassine ! Faites bien attention, c’est à la fin du deuxième couplet, il confond fleur bleu et blé d’or. Ça ne se ressemble pas pourtant.

Le théorème explique que des chansons de Brassens en apparence longues et compliquées se mémorisent assez facilement, comme La légende de la nonne ou Pensée des morts. Parce que leur groupe d’automorphismes est trivial. Je signale aussi les quatorze interminables couplets de Supplique pour être enterré sur la plage de Sète : les cinq ou six premiers couplets ainsi que les deux derniers ont une place logique dans la narration, tandis que les six ou sept du milieu se permutent entre eux sans inconvénient, ce qui encombre la chanson d’une sorte de marécage automorphique qui rend difficile la mémorisation de l’ordre des couplets du milieu. Il est même assez difficile de n’en oublier aucun, voire de ne pas en chanter un deux fois, et là c’est le bide garanti.

Dernière exemple d’un piège de nature algébrique, un endomorphisme non surjectif qui vous envoie tout droit à la fin d’Hécatombe.

Bon anniversaire M. Brassens.

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