Common knowledge

Mathématiques et chansons 15

La spécularité infinie, ou « common knowledge » est un concept issu de la logique et de l’économie. Une information est dite « common knowledge » lorsque tout le monde la connait, que tout le monde sait que tout le monde la connait, que tout le monde sait que tout le monde sait que tout le monde la connait, et ainsi de suite à l’infini.

Il est assez difficile d’imaginer que la notion ait des applications ou seulement un sens. Comment se peut-il que tout le monde sache quelque chose, sans savoir que toute le monde le sait ? C’est pourtant possible, je vous donne un exemple. Imaginez une réunion de trois personnes. Deux d’entres elles ont un gros point noir sur le front, mais ne le savent pas. Donc, l’information A = « il y au moins une personne qui a un point noir sur le front » est connue de tous, puisque tout le monde voit au moins une personne avec un point noir sur le front. Par contre, tout le monde ne sait pas que tout le monde le sait. Car un individu X qui possède un point noir sur le front ne voit qu’une seule autre personne Y avec un point noir. Dans l’ignorance de son propre état, X ne sait pas si Y est au courant qu’il y a des gens avec un point noir sur le front. Mais si quelqu’un s ‘écrit « tu as un point noir le front », tout d’un coup, l’information devient « common knowledge » : tout le monde la sait, sait que tout le monde sait, sait que tout le monde sait que tout le monde la sait, etc.

Le concept a été formalisé par l’économiste Robert Aumann, mais on peut l’illustrer simplement par de surprenantes énigmes mathématiques comme le problème bien connu dit des Cocus de Bagdad, voir ici. Voir aussi la page wikipedia sur le sujet, bien mieux faite en anglais qu’en français, et qui présente une énigme similaire à celle des cocus de Bagdad.

Dans la vie courante, la notion est également importante, avec la notion de « secret de Polichinelle » et la contradiction apparente qu’elle recèle : un secret que tout le monde le connait. Ce paradoxe n’est qu’apparent car il perd son mystère pour qui connait le common knowledge : l’information « common knowledge », donc dite publiquement, est formellement différente de celle que « tout le monde sait », et les « secrets de Polichinelle » ne sont pas une illusion cognitive échappant à toute rationalité.

Maintenant, avançons pas à pas et en chansons dans la subtile hiérarchie de la spécularité.

Spécularité 1, Jean Gabin. Je sais.

Spécularité 2, Henri Salvador. Je sais que tu sais.

Spécularité 3, Patrick Gane. Je sais que tu sais que je sais.

Spécularité infinie, Johnny. Tout le monde sait que c’est un héros, et comme il le gueule assez fort tout en prétendant le contraire, tout le monde sait que tout le monde le sait, et etc jusqu’à l’infini de Johnny. Je ne suis pas un héros.

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