That’s Mathematics

Mathématiques et chansons 44

Pour conclure cette longue série, Tom Lehrer nous chante le réjouissant That’s mathematics.

J’ai trouvé plusieurs idées pour cette série sur le site de Maths et Tiques. Cette série reprend plusieurs billets de la 20e série passée dans le blog, consacrée aux liens entre science et chanson.

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Boby Lapointe, Euclide de la chanson

Mathématiques et chansons 43

Les exemples de chanteurs ayant étudié les mathématiques ne manquent pas : Guy Béart (ingénieur des Ponts et Chaussées), Antoine et Boris Vian (ingénieurs centraliens), Évariste bien sûr, Gauvain Sers (diplomé de l’École nationale supérieure d’électrotechnique, d’électronique, d’informatique, d’hydraulique et des télécommunications) et même Bernard Menez (reçu au concours de l’ENSET, aujourd’hui appelée École Normale Supérieure de Paris-Saclay, et un moment prof de maths). J’en oublie sûrement. Je n’ai pas trouvé tellement de maths dans leurs chansons. Notamment de Boris Vian… si quelqu’un peut m’aider. De lui, je n’ai trouvé que ce couplet, mais pas de musique dessus, ni de vidéo ou d’audio.

Il y a des racines de tout’ les formes
Des pointues des rond’ et des difformes
Cell’ de la guimauve est angélique
Et la mandragore est diabolique
Il y a un’Racin’ qu’est un classique
Mêm’ s’il nous bassin’ on n’y peut plus rien
Mais la racine que j’adore
Et qu’on extrait sans effort-eu
La racin’ carrée ma préférée.

Il n’en va pas de même avec Boby Lapointe, déjà vu dans -2 billets. Son affinité avec les mathématiques a déjà été noté dans ce blog, par exemple dans la série sur la chanson oulipiste (ici). Il était mathématicien amateur dans sa jeunesse et auteur d’un mémoire sur la numération binaire. On trouve quelques traces de cette carrière parallèle dans ses chansons : goût immodéré pour ces constructions formelles que sont les calembours, art de tirer toutes les conséquences logiques d’une idée, aussi absurde soit-elle, et parfois même, une curieuse manière de procéder axiomatiquement, comme par exemple en posant que « uhuhuh » est un « refrain ». Le saucisson de cheval. Admirable (de lapin).

Bref, je nomme Boby Lapointe mathématicien d’honneur de la chanson française !

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7 est égal à -1 modulo 8

Mathématiques et chansons 42

Aujourd’hui, on étudie un nouveau nombre négatif en chanson : 7. Vous me direz que 7 est est positif. Pourtant 7 = -1, parce qu’on s’intéresse aujourd’hui à l’arithmétique modulo 8. Elle n’est pas très familière, aussi vais-je d’abord expliquer l’arithmétique modulo 12, plus courante.

C’est elle qui préside aux calculs horlogers : s’il est 10h par exemple, 5 heures après, il est 3 heures. On dit que modulo 12 (c’est-à-dire quand 12 « fait le tour du cadran »), 10 + 5 = 3 (et oui, à 15h, il est 3h c’est bien connu). On peut aussi dire que 12 = 0, puisque rajouter 12h ne change rien à l’heure qu’il est, comme si on rajoutait 0. Et 11 = -1, car ajouter 11 heures revient à enlever un heure. Pour rappeler le contexte étrange qui préside à ces calculs, on précise qu’on calcule « modulo 12 ».

Modulo 8, c’est pareil, mais le « tour du cadrant » se fait à 8. Donc, 8 équivaut à 0, et alors ajouter 7 revient à enlever 1. Donc, 7 = -1, modulo 8 bien sûr. Et la chanson dans tout ça ? C’est assez subtil, il faut écouter très attentivement Je ne mâche pas mes mots de Camille, et faire attention à la deuxième voix à partir de 1:23 sur la vidéo.

Les choristes répètent Je-ne-ma-che-pas-mes-mots (7 syllabes), sur une phrase musicale de 8 doubles croches. Résultat, à chaque passage, la place des syllabes se décale de -1, car +7 = -1 modulo 8 ! Et au bout de huit tournes, on est revenu à son point de départ, on peut passer à la suite. L’accent rythmique avance dans la phrase comme la phrase recule, de même que le train avance quand la gare recule : il tombe successivement sur « je », « ne », « ma », « che » etc. On ne mâche pas ses mots, on les hache plutôt, une belle trouvaille musico-mathématique, bravo Camille.

Peut-être plus facile à entendre sur le lien suivant, une vidéo confinée où l’on voit plusieurs chanteuses déjà passées par le jardin (Melba et Morikan notamment). Parce qu’on peut voir la chanteuse en charge de cette voix. C’est celle tout en bas à droite, et elle prend en charge la tourne à partir de 1:22.

C’est encore plus clair avec les Ladies Jam, ça commence vers 1:22 aussi. La tourne est prise en charge par la chanteuse en bas à gauche et celle en haut à droite. Cette dernière semble spécialement concentrée sur ce passage pas évident, et bat la mesure en appuyant les temps forts ce qui met mieux en lumière le dispositif.

C’est le 42e billet de la série car 42 est la réponse à La grande question sur la vie, l’univers et le reste.

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Moins deux

Mathématiques et chansons 41

J’ai dit dans le billet précédent n’avoir en mon bestiaire qu’une seule chanson avec un nombre négatif, et que c’était moins une. Et bien quand j’en ai trouvé deux, c’était moins deux… Mais y a-t-il vraiment un nombre négatif dedans ? Je laisse cette question ouverte. From two to two, Boby Lapointe.

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Les nombres négatifs

Mathématiques et chansons 40

J’ai longtemps cherché des chansons avec des nombres négatifs. C’était moins une, mais j’en ai trouvé une. André, de l’immense Sanseverino. Écoutez bien :

À Paris quand il fait gris,
Il fait nuit,
Et quand il fait moins trois,
Il fait froid.

Les plus attentifs ont sûrement remarqué cette variante numérique et subtile de la contraposition : «  quand il fait moins froid, et ben il fait trois ». À moins qu’une inégalité n’ait été tout simplement multipliée par -1 ? Il y aurait donc un deuxième nombre négatif implicitement présent dans cette chanson ? Performance hallucinante en live avec le Rosenberg trio, à voir malgré la piètre qualité de la vidéo.

En live encore, avec Francis Cabrel qui se laisse entrainer dans ce traquenard au tempo épileptique et garde sa poker face.

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Je serais pas Mistinguett si j’étais pas comme ça

Mathématiques et chansons 39

Encore une contraposée en chanson. Soit l’énoncé A = « être Mistinguett  ». Et B = « avoir de belle gambettes ». On a donc « A implique B », puisque Mistinguett avait de belles gambettes. Et donc, par contraposée, « pas de belle gambette implique pas Mistinguett ». Ben oui, « je serais pas Mistinguett si j’étais pas comme ça ! ». C’est vrai de Mistinguett.

Hommage de Dalida, qui y va aussi de sa contraposée. Comme disait Mistinguett.

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Contraposée

Mathématiques et chansons 38

Les auditeurs attentifs ont sûrement remarqué que Évidemment bien sûr, passée il y a quelques billets utilise une contraposée. Cette notion concerne les implications, c’est-à-dire les énoncés du type « si A alors B ». Par exemple, « si je suis un homme, alors je suis mortel ». La contraposée de l’énoncé est par définition « si non-B, alors non-A ». Dans l’exemple, « si je suis immortel, alors je ne suis pas un homme », ce qui est bien clair. Avec un peu de logique, on peut vérifier qu’un énoncé est équivalent à sa contraposée, voir ici.

Les deux premiers couplets de la chanson commencent par « Quand j’étais petit, je n’étais pas grand » (donc « si petit, alors pas grand »). Et le troisième couplet par « lorsque j’ai grandi, je n’étais plus petit » (donc « si grand alors pas petit »), contraposée du premier énoncé, lui-même tautologique. Par lequel on voit que la contraposée d’une tautologie n’est qu’une autre tautologie, ce qui est du plus grand effet comique. Mais le plus bel exemple de contraposée en chanson, c’est Take the A train, l’un des plus célèbres standards de jazz. Par Ella Fitzgerald.

Les paroles nous disent :

You must take the « A » train
To go to Sugar Hill way up in Harlem
If you miss the « A » train
You’ll find you missed the quickest way to Harlem

Donc : «  si on veut aller à Harlem, alors il faut prendre le train A ». Contraposée : « si on rate le train A, alors on a raté le moyen d’aller à Harlem ». La structure du morceau est la répétition d’un motif musical deux fois, puis un autre motif, puis la reprise du premier. Ce qu’en jazz on dénote par AABA. Implacable logique : les deux premiers A sont équivalents logiquement par contraposition et parlent du train A, fantastique. Explications sur ce morceau par Michel Petrucciani, avec une dissociation main gauche / main droite surnaturelle.

En pratique :

Je suis aussi fan d’Oscar Peterson.

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Permutation circulaire

Mathématiques et chansons 37

Nous voilà au 37e épisode de cette série maths et chanson. Ah 37, un nombre premier. Aviez-vous remarqué que 1 / 37 = 0.027 027 027, et ainsi à l’infini ? Ce dont on déduit que 27 x 37 = 999. Et que 27 est un diviseur des permutations circulaires des chiffres de 027, à savoir 270 et 702. Et oui, 27 x 26 = 702 et 27 x 10 = 270. Ce phénomène peu connu est général :
– Prenez l’inverse d’un nombre premier quelconque (à part 2 et 5 qui sont exceptionnels car diviseurs de 10, la base de numération)
– Isolez dans le résultat le bloc de chiffres qui se répète à l’infini.
– Permutez ses chiffres circulairement.
– Vous obtiendrez des multiples du bloc de départ.
– C’est assez saisissant avec 7, 11, 13, 101 ou 271 par exemple. Et bien sûr 37. En général, les blocs de chiffres deviennent trop longs pour que ça soit pratique à vérifier, mais le résultat n’en est que plus saisissant avec par exemple 97 qui donne un nombre de 96 chiffres dont toutes les permutations circulaires sont des multiples.

Je laisse les mathématiciens amateurs ou professionnels y réfléchir. Puisqu’on parle de permutations circulaires : une chanson dont chaque couplet serait une permutation circulaire du précédent se peut-elle concevoir ? La réponse est oui, hélas. Naître et mourir pour la paix.

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