Mathématiques et chansons 12

On s’intéresse aujourd’hui à la vaste théorie du choix social, à la croisée des mathématiques, des sciences politiques et de l’économie. À grand trait, il s’agit de voir comment faire émerger un choix collectif à partir de préférences individuelles, ce qui est plus difficile qu’il n’y parait. Par exemple, il semble évident que si une option A est préférée à B, et que B est préférée à C, alors A est préférée à C. C’est ce qu’on appelle la transitivité des préférences. Même si cette propriété est vraie pour chaque individu, il se peut que collectivement, des systèmes électoraux entrainent des cycles absurdes : A préféré à B, B préféré à C, C préféré à A, ce qui fait qu’aucune option ne semble émerger collectivement. Je vous épargne les détails, il s’agit du paradoxe de Condorcet, découvert par ce dernier à la fin du XVIIIe siècle, voir ici.

En fait, des décennies de recherche ont montré que toute tentative d’éradiquer le paradoxe de Condorcet par un système électorale astucieux le fait ressurgir sous une autre forme. C’est le théorème d’impossibilité de Kenneth Arrow, montré en 1951, qui affirme qu’il n’existe aucun système électoral sans défaut. Arrow a établi une liste de propriétés désirables d’un système électoral, et a montré qu’aucun d’entre eux ne les satisfait tous, voir ici.

le théorème de Arrow est une limitation fondamentale aux processus de décision collective, mais sous certaines hypothèses restrictives, il s’évanouit. Par exemple, si on suppose que les agents ainsi que les options qui leur sont proposées sont sur un axe, et que chaque agent va ordonner ses choix de l’option la plus proche à la plus lointaine, tout d’un coup se mettent à exister des procédures de vote un peu plus satisfaisantes logiquement. Cette hypothèse très simplificatrice n’est pas si irréaliste : en politique par exemple, en simplifiant à l’extrême, les candidats et les électeurs ont tendance à se placer sur un axe de la gauche vers la droite, et chaque électeur va voter pour le candidat qu’il estime le plus proche de ses options. Voir la page wikipedia du Median voter theorem.

Je vous livre maintenant une opinion personnelle, que je n’ai jamais lue nulle part : ce théorème explique la robustesse de l’axe gauche-droite en politique. Cet axe est à bien des égards une absurdité politique, et sa persistance durant des décennies ou même des siècles s’explique avant tout par les simplifications qu’il permet dans les processus de décisions collectives. Il se pourrait que tout sujet soumis à débats et décisions collectives répétitives finisse par se structurer sur un axe a priori arbitraire.

Par exemple, si on parle de chanson pendant quelques années, on finit par se poser une question absurde : c’est un art mineur ou un art majeur ?

Art mineur de Claude Nougaro.

Voir les séries consacrées à la question de la chanson art majeur ou mineur, ici.

1 – Marie Mathématique
2 – Parallèles
3 – Booba, mathématicien du 100-8
4 – Tu fais trop de mathématiques
5 – Seul
6 – Si j’avais un piano
7 – Pourquoi la fatma l’a mis le feu ?
8 – Évariste
9 – Avec moins de clarté que de ferveur
9bis – Le chien du pope
10 – C’est quand qu’on va au pont-aux-ânes ?
11 – Pi
12 – Le théorème de l’électeur médian, l’art majeur et l’art mineur
12bis – Les arbres de Corot
13 – C’est bien ma veine
14 – Trois est un nombre magique
14bis – Great Teacher Issapa
15 – Pas des carrés
16 – Common knowledge
16bis – Everybody knows
17 – La preuve par trois
18 – Un zéro
19 – Rien
20 – New math
21 – Ma thématique
21bis – There a delta for every epsilon
22 – Compter
23 – La prof de math
23bis – L’enfant et les additions
24 – Deux fois deux font quatre
25 – Groupe d’automorphismes des chansons
26 – L’homme orange
27 – Mettre Euclide dans une poubelle
28 – La mémoire et les maths
29 – Lobachevsky
30 – Les valeurs approchées
31 – La vénus mathématique
32 – Mathématiques souterraines
33 – Logarithme 70
34 – Humour tautologique
35 – Quand j’étais petit, je n’étais pas grand
36 – Logical
37 – Permutation circulaire
38 – Contraposée
39 – Je serais pas Mistinguett si j’étais pas comme ça
40 – Les nombres négatifs
41 – Moins deux
42 – 7 est égal à -1 modulo 8
43 – Boby Lapointe, Euclide de la chanson
44 – That’s Mathematics
44bis – Amor Matemático

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