7 est égal à -1 modulo 8

Mathématiques et chansons 42

Aujourd’hui, on étudie un nouveau nombre négatif en chanson : 7. Vous me direz que 7 est est positif. Pourtant 7 = -1, parce qu’on s’intéresse aujourd’hui à l’arithmétique modulo 8. Elle n’est pas très familière, aussi vais-je d’abord expliquer l’arithmétique modulo 12, plus courante.

C’est elle qui préside aux calculs horlogers : s’il est 10h par exemple, 5 heures après, il est 3 heures. On dit que modulo 12 (c’est-à-dire quand 12 « fait le tour du cadran »), 10 + 5 = 3 (et oui, à 15h, il est 3h c’est bien connu). On peut aussi dire que 12 = 0, puisque rajouter 12h ne change rien à l’heure qu’il est, comme si on rajoutait 0. Et 11 = -1, car ajouter 11 heures revient à enlever un heure. Pour rappeler le contexte étrange qui préside à ces calculs, on précise qu’on calcule « modulo 12 ».

Modulo 8, c’est pareil, mais le « tour du cadrant » se fait à 8. Donc, 8 équivaut à 0, et alors ajouter 7 revient à enlever 1. Donc, 7 = -1, modulo 8 bien sûr. Et la chanson dans tout ça ? C’est assez subtil, il faut écouter très attentivement Je ne mâche pas mes mots de Camille, et faire attention à la deuxième voix à partir de 1:23 sur la vidéo.

Les choristes répètent Je-ne-ma-che-pas-mes-mots (7 syllabes), sur une phrase musicale de 8 doubles croches. Résultat, à chaque passage, la place des syllabes se décale de -1, car +7 = -1 modulo 8 ! Et au bout de huit tournes, on est revenu à son point de départ, on peut passer à la suite. L’accent rythmique avance dans la phrase comme la phrase recule, de même que le train avance quand la gare recule : il tombe successivement sur « je », « ne », « ma », « che » etc. On ne mâche pas ses mots, on les hache plutôt, une belle trouvaille musico-mathématique, bravo Camille.

Peut-être plus facile à entendre sur le lien suivant, une vidéo confinée où l’on voit plusieurs chanteuses déjà passées par le jardin (Melba et Morikan notamment). Parce qu’on peut voir la chanteuse en charge de cette voix. C’est celle tout en bas à droite, et elle prend en charge la tourne à partir de 1:22.

C’est encore plus clair avec les Ladies Jam, ça commence vers 1:22 aussi. La tourne est prise en charge par la chanteuse en bas à gauche et celle en haut à droite. Cette dernière semble spécialement concentrée sur ce passage pas évident, et bat la mesure en appuyant les temps forts ce qui met mieux en lumière le dispositif.

C’est le 42e billet de la série car 42 est la réponse à La grande question sur la vie, l’univers et le reste.

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