La spécularité infinie, ou « common knowledge » est un concept issu de la logique et de l’économie. Une information est dite « common knowledge » lorsque tout le monde la connait, que tout le monde sait que tout le monde la connait, que tout le monde sait que tout le monde sait que tout le monde la connait, et ainsi de suite à l’infini.
Il est assez difficile d’imaginer que la notion ait des applications ou seulement un sens. Comment se peut-il que tout le monde sache quelque chose, sans savoir que toute le monde le sait ? C’est pourtant possible, je vous donne un exemple. Imaginez une réunion de trois personnes. Deux d’entres elles ont un gros point noir sur le front, mais ne le savent pas. Donc, l’information A = « il y au moins une personne qui a un point noir sur le front » est connue de tous, puisque tout le monde voit au moins une personne avec un point noir sur le front. Par contre, tout le monde ne sait pas que tout le monde le sait. Car un individu X qui possède un point noir sur le front ne voit qu’une seule autre personne Y avec un point noir. Dans l’ignorance de son propre état, X ne sait pas si Y est au courant qu’il y a des gens avec un point noir sur le front. Mais si quelqu’un s ‘écrit « tu as un point noir le front », tout d’un coup, l’information devient « common knowledge » : tout le monde la sait, sait que tout le monde sait, sait que tout le monde sait que tout le monde la sait, etc.
Le concept a été formalisé par l’économiste Robert Aumann, mais on peut l’illustrer simplement par de surprenantes énigmes mathématiques comme le problème bien connu dit des Cocus de Bagdad, voir ici. Voir aussi la page wikipedia sur le sujet, bien mieux faite en anglais qu’en français, et qui présente une énigme similaire à celle des cocus de Bagdad.
Dans la vie courante, la notion est également importante, avec la notion de « secret de Polichinelle » et la contradiction apparente qu’elle recèle : un secret que tout le monde le connait. Ce paradoxe n’est qu’apparent car il perd son mystère pour qui connait le common knowledge : l’information « common knowledge », donc dite publiquement, est formellement différente de celle que « tout le monde sait », et les « secrets de Polichinelle » ne sont pas une illusion cognitive échappant à toute rationalité.
Maintenant, avançons pas à pas et en chansons dans la subtile hiérarchie de la spécularité.
Spécularité 1, Jean Gabin. Je sais.
Spécularité 2, Henri Salvador. Je sais que tu sais.
Spécularité 3, Patrick Gane. Je sais que tu sais que je sais.
Spécularité infinie, Johnny. Tout le monde sait que c’est un héros, et comme il le gueule assez fort tout en prétendant le contraire, tout le monde sait que tout le monde le sait, et etc jusqu’à l’infini de Johnny. Je ne suis pas un héros.
Aujourd’hui Mademoiselle K nous chante Pas des carrés, avec le couplet habituel sur les maths mal-aimées, ça en devient lassant.
J’suis pas si tarée pas si carrée J’déteste les mathématiques Toujours autant toujours pourtant Note et retiens combien de fois J’me suis déduis de toi De tout c’que t’aimeras pas
À propos, je vous recommande l’excellent documentaire Comment j’ai détesté les maths.
Jacques, internaute de Belledonne, me signale le rappeur Great Teacher Issapa. J’avais déjà passé dans la série sur les geeks des vidéos de chansons plus ou moins scolaires. Je dois dire que celles d’Issapa sont bien mieux réalisées que la moyenne, crédibles musicalement et très pertinentes quant au contenu mathématique, bravo. Aujourd’hui, cours de probas. Probabilités.
Le nombre qui possède le plus de propriétés ésotériques est sûrement trois. Par exemple, nous sommes au 14e billet de la série, et 3 x 14 = 42, réponse à La grande question sur la vie, l’univers et le reste, comme par hasard. Three is a magic number. Par Schoolhouse Rock.
Je n’y ai repensé qu’après avoir préparé la série, mais une chanson de Pierre Delorme parle de maths, si si. Au début du deuxième couplet des Arbres de Corot, déjà passée dans la série sur la peinture en chanson :
Bien sûr que deux et deux font quatre C’est pas moi qui le dis, c’est les maths C’est l’intangible vérité, L’implacable sévérité.
Sinon, les chansons circulaires continuent d’inspirer les lecteurs, avec Les noix d’coco, proposées par Simon. Par Jean-Naty-Boyer.
On s’intéresse aujourd’hui à la vaste théorie du choix social, à la croisée des mathématiques, des sciences politiques et de l’économie. À grand trait, il s’agit de voir comment faire émerger un choix collectif à partir de préférences individuelles, ce qui est plus difficile qu’il n’y parait. Par exemple, il semble évident que si une option A est préférée à B, et que B est préférée à C, alors A est préférée à C. C’est ce qu’on appelle la transitivité des préférences. Même si cette propriété est vraie pour chaque individu, il se peut que collectivement, des systèmes électoraux entrainent des cycles absurdes : A préféré à B, B préféré à C, C préféré à A, ce qui fait qu’aucune option ne semble émerger collectivement. Je vous épargne les détails, il s’agit du paradoxe de Condorcet, découvert par ce dernier à la fin du XVIIIe siècle, voir ici.
En fait, des décennies de recherche ont montré que toute tentative d’éradiquer le paradoxe de Condorcet par un système électorale astucieux le fait ressurgir sous une autre forme. C’est le théorème d’impossibilité de Kenneth Arrow, montré en 1951, qui affirme qu’il n’existe aucun système électoral sans défaut. Arrow a établi une liste de propriétés désirables d’un système électoral, et a montré qu’aucun d’entre eux ne les satisfait tous, voir ici.
le théorème de Arrow est une limitation fondamentale aux processus de décision collective, mais sous certaines hypothèses restrictives, il s’évanouit. Par exemple, si on suppose que les agents ainsi que les options qui leur sont proposées sont sur un axe, et que chaque agent va ordonner ses choix de l’option la plus proche à la plus lointaine, tout d’un coup se mettent à exister des procédures de vote un peu plus satisfaisantes logiquement. Cette hypothèse très simplificatrice n’est pas si irréaliste : en politique par exemple, en simplifiant à l’extrême, les candidats et les électeurs ont tendance à se placer sur un axe de la gauche vers la droite, et chaque électeur va voter pour le candidat qu’il estime le plus proche de ses options. Voir la page wikipedia du Median voter theorem.
Je vous livre maintenant une opinion personnelle, que je n’ai jamais lue nulle part : ce théorème explique la robustesse de l’axe gauche-droite en politique. Cet axe est à bien des égards une absurdité politique, et sa persistance durant des décennies ou même des siècles s’explique avant tout par les simplifications qu’il permet dans les processus de décisions collectives. Il se pourrait que tout sujet soumis à débats et décisions collectives répétitives finisse par se structurer sur un axe a priori arbitraire.
Par exemple, si on parle de chanson pendant quelques années, on finit par se poser une question absurde : c’est un art mineur ou un art majeur ?
Art mineur de Claude Nougaro.
Voir les séries consacrées à la question de la chanson art majeur ou mineur, ici.
Le jardin aux chansons qui bifurquent 